Дюрация измеряет процентный риск облигации — на сколько может измениться стоимость облигации вслед за процентными ставками. Посмотреть дюрацию российских акций можно в калькуляторе Московской биржи, а можно научиться рассчитывать её самостоятельно.
Как рассчитывают дюрацию
В 1938 году канадский экономист Фредерик Маколей предложил формулу для расчёта процентного риска облигаций с учётом срока обращения и купонов и назвал получившиеся значения дюрацией. Теперь под дюрацией Маколея понимают сумму всех будущих платежей (купонов и номинала) с учётом сроков их поступления, делённую на рыночную цену облигации с учётом накопленного купонного дохода. Идея в том, что чем ближе к текущему моменту находится платёж, тем он более ценен, потому что полученные деньги можно быстрее реинвестировать. И тем меньше его вес в числителе.
Первый фактор, который влияет на процентный риск, — время до погашения. Допустим, есть две облигации с одинаковым фиксированным купоном с погашением через пять и 10 лет. При росте ключевой ставки на 1% доходности старых выпусков должны вырасти на 1%, чтобы соответствовать доходностям новых с более высокими ставками. Иначе инвесторы не стали бы покупать старые выпуски.
Но так как купон фиксирован, то рост доходности означает снижение цены облигации. При этом цена облигации с погашением через пять лет снизится на 1% × 5 = 5%, второй — на 1% × 10 = 10%. Таким образом, доходность облигации с большим сроком до погашения вырастет сильнее.
Однако имеет значение и размер купона. При росте ставок из облигаций с одинаковым сроком до погашения ценные бумаги с более высоким купоном в относительном значении потеряют меньше в привлекательности, так как рост ставок в меньшей степени отразится на их купоне.
где:
D — дюрация,
PVCt — платежи по облигациям,
t — время поступления каждого из них,
P — цена на рынке (с учётом НКД).
Пример расчёта. Допустим, номинал облигации равен 1000 рублей, её текущая цена — тоже 1000 рублей, НКД = 0. Купон в размере 10% от номинала (100 рублей) выплачивается два раза в год. До погашения остаётся два года.
Числитель — сумма денежных потоков с учётом времени их поступления. Чтобы определить их ценность сейчас, платежи необходимо дисконтировать. По сути это аналогично дисконтированию денежных потоков, которое используется для оценки акций, и противоположно — начислению процентов.
В формуле Маколея ставка дисконтирования — это доходность к погашению, тот самый показатель, который отражается, в том числе, в приложении брокера. В данном случае — полугодовая, то есть 5%.
Из этой формулы наглядно видно, что при прочих равных:
- чем дальше дата погашения, тем больше дюрация;
- чем больше купон, тем меньше дюрация;
- чем выше доходность к погашению, тем ниже дюрация.
Дюрация Маколея используется для расчёта остальных показателей дюрации. Именно её можно видеть, к примеру, на сайтах про облигации (например cbonds.ru, rusbonds.ru) и в торговом терминале QUIK. Как правило, она измеряется в днях — получившийся показатель дюрации умножается на 365 дней. Если купонов не остаётся, то дюрация равна сроку до погашения.
Важно помнить, что в QUIK учитывается дюрация до даты ближайшей пут-оферты. Пут-опцион, или пут-оферта, даёт инвесторам право предъявить облигацию к погашению. При этом эмитент обязан её выкупить. Колл-опцион, или колл-оферта, даёт эмитенту право полностью или частично погасить весь выпуск облигаций, а инвестор в этом случае обязан предоставить бумаги к выкупу. Ценные бумаги с колл-опционами менее распространены на российском рынке, чем с путами, для них дюрацию необходимо рассчитывать самостоятельно.
Если инвестор хочет сам рассчитать дюрацию облигации с пут-офертой, то ему надо учитывать только платежи, которые придут до пут-оферты.
Частный инвестор может посмотреть дюрацию в калькуляторе на сайте Московской биржи и на специальных сайтах: cbonds.ru и rusbonds.ru.
Модифицированная дюрация
Этот показатель используют для расчёта того, на сколько изменится доходность облигации при изменении ставок.
Модифицированная дюрация = дюрация Маколея / (1 + процентная ставка).
Из примера ниже:
Modified Duration(MD) = 4,144 / (1+ 0,1) = 3,76
Чтобы рассчитать, как изменится цена облигации в ответ на изменение ставок, применяют следующую формулу:
Изменение цены = −MD × Рыночная цена с НКД (в процентах от номинала) × Изменение ставок
В примере: Изменение цены = - 3,76 × 100% × 0,01 = -3,76%
Получается, что при росте ставки на один процентный пункт стоимость облигации упадёт на 3,76%.
Также можно рассчитать модифицированную дюрацию портфеля из облигаций. Для этого нужно MD каждой ценной бумаги умножить на её долю в портфеле. К примеру, если у облигации А MD = 1,4, а её вес в портфеле составляет 70%, у облигации Б c весом в 30% — MD = 0,8%.
MD портфеля составит 0,7 × 1,4 + 0,3 × 0,8 = 1,22.
Модифицированная дюрация помогает частному инвестору примерно оценить процентный риск при небольшом изменении ставок. Можно допустить, что зависимость между ценой облигации и уровнем ставок линейна. (О том, когда это допущение лучше не делать, читайте ниже).
Модифицированной дюрации в большинстве случае достаточно, чтобы принять решение:
- если инвестор ожидает снижения процентных ставок, он может увеличить дюрацию портфеля, чтобы получить бóльшую прибыль;
- в ожидании роста ставок можно попробовать снизить дюрацию, чтобы уменьшить риски.
Чтобы не зависеть от изменения ставок, можно попробовать собрать портфель из ценных бумаг с такой дюрацией, чтобы она примерно равнялась горизонту инвестирования.
Но стоит помнить, что в любом случае существуют разные подходы к выбору инструментов и никакой не гарантирует успеха в инвестировании.
Выпуклость
Для более точного расчёта процентного риска инвесторы с большим портфелем облигаций используют выпуклость — это мера кривизны между ценой облигации и её доходностью. Как видно из расчёта MD, зависимость нелинейная. Если изображать её на графике, получится такая кривая:
На графике заметно, что чем больше изменение ставки, тем больше погрешность по сравнению с линейным показателем дюрации, обозначенным чёрной линией. Кроме того, график выпуклости — несимметричный: при снижении ставки на 1% цена вырастет больше, чем снизится при аналогичном росте.
Чтобы это учесть, используют показатель выпуклости, его ещё называют конвекцией (от англ. conveсtion). Его математическая формула слишком сложна, но посмотреть его значение можно на тех же cbonds.ru и rusbonds.ru.
На графике выше облигация B более выпуклая, чем облигация A. У обеих — одинаковая дюрация. В случае снижения ставок облигация B быстрее растёт в цене, а в случае роста — быстрее снижается.
Если инвесторы ожидают высокой волатильности ставок, среди облигаций с одинаковой дюрацией они могут обратить внимание на более выпуклые. Доходности по ним будут ниже, чем у менее выпуклых. И наоборот, при низкой волатильности ставок инвесторам логичнее выбирать менее выпуклые, но более доходные.
Что ещё почитать
- Доходность облигаций зависит от ключевой ставки. Что это такое, почему Центробанк её меняет и какие облигации более чувствительны к изменению ставок, рассказываем здесь.
- Кроме процентного, инвесторы в облигации учитывают и другие виды рисков, в том числе страновой риск, риск ликвидности и риск конкретного эмитента. Подробнее о об этих рисках — тут.
- Защититься от инфляции помогают облигации с плавающей ставкой. Подробнее о таких государственных облигациях — в этой статье.